Naked Statistics is het meest interessante boek over de saaiste wetenschap

2024 Auteur: Malcolm Clapton | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-12-17 04:06

Wie zei dat statistiek een saaie en nutteloze wetenschap is? Charles Wheelan stelt overtuigend dat dit verre van het geval is. Vandaag publiceren we een fragment uit zijn boek over hoe je een auto kunt winnen, geen geit, met behulp van statistieken, en we begrijpen dat intuïtie je kan misleiden.

Het raadsel van Monty Hall

Het Monty Hall-mysterie is een beroemd probleem in de kanstheorie dat deelnemers verbijsterde aan een spelshow genaamd Let's Make a Deal, nog steeds populair in verschillende landen, die in 1963 in de Verenigde Staten in première ging. (Ik herinner me elke keer dat ik als kind naar deze show keek, toen ik door ziekte niet naar school ging.) In de inleiding van het boek wees ik er al op dat deze spelshow interessant kan zijn voor statistici. Aan het einde van elk nummer stond de deelnemer die de finale bereikte met Monty Hall voor drie grote deuren: deur nr. 1, deur nr. 2 en deur nr. 3. Monty Hall legde de finalist uit dat achter een van deze deuren was een zeer waardevolle prijs - bijvoorbeeld een nieuwe auto en een geit achter de andere twee. De finalist moest een van de deuren kiezen en pakken wat erachter zat. (Ik weet niet of er onder de deelnemers aan de show minstens één persoon was die een geit wilde hebben, maar omwille van de eenvoud gaan we ervan uit dat de overgrote meerderheid van de deelnemers droomde van een nieuwe auto.)

De initiële winkans is vrij eenvoudig te bepalen. Er zijn drie deuren, twee verbergt een geit en de derde verbergt een auto. Wanneer een deelnemer aan de show met Monty Hall voor deze deuren staat, heeft hij één op drie kansen om de deur te kiezen waarachter de auto zich bevindt. Maar, zoals hierboven opgemerkt, is er een addertje onder het gras in Let's Make a Deal dat dit tv-programma en zijn presentator vereeuwigde in de literatuur over kansrekening. Nadat de finalist van de show een van de drie deuren aanwijst, opent Monty Hall een van de twee overgebleven deuren, waarachter zich altijd een geit bevindt. Dan vraagt Monty Hall de finalist of hij van gedachten wil veranderen, dat wil zeggen, de eerder geselecteerde gesloten deur te verlaten ten gunste van een andere gesloten deur.

Laten we bijvoorbeeld zeggen dat de deelnemer naar Deur # 1 wees. Toen opende Monty Hall Deur # 3, waarachter de geit zich verstopte. Twee deuren, Deur #1 en Deur #2, blijven gesloten. Als de waardevolle prijs achter deur nr. 1 stond, zou de finalist hem hebben gewonnen, en als hij achter deur nr. 2 stond, zou hij hebben verloren. Het is op dit punt dat Monty Hall de speler vraagt of hij zijn oorspronkelijke keuze wil veranderen (in dit geval verlaat je Deur #1 in plaats van Deur #2). U zult natuurlijk onthouden dat beide deuren nog gesloten zijn. De enige nieuwe informatie die de deelnemer kreeg, was dat de geit achter een van de twee deuren belandde die hij niet had gekozen.

Moet de finalist de aanvankelijke keuze opgeven ten gunste van Deur #2?

Ik antwoord: ja, dat moet. Als hij bij de oorspronkelijke keuze blijft, is de kans op het winnen van een waardevolle prijs ⅓; als hij van gedachten verandert en naar deur nr. 2 wijst, is de kans op het winnen van een waardevolle prijs ⅔. Als je me niet gelooft, lees dan verder.

Ik geef toe dat dit antwoord op het eerste gezicht verre van duidelijk is. Het lijkt erop dat welke van de resterende twee deuren de finalist ook kiest, de kans op het ontvangen van een waardevolle prijs in beide gevallen ⅓ is. Er zijn drie gesloten deuren. In het begin is de kans dat er een waardevolle prijs achter een van hen verborgen zit ⅓. Maakt de beslissing van de finalist om zijn keuze te wijzigen ten gunste van een andere gesloten deur enig verschil?

Natuurlijk, want het addertje is dat Monty Hall weet wat er achter elke deur zit. Als de finalist Deur #1 kiest en er staat inderdaad een auto achter, dan kan Monty Hall ofwel Deur #2 of Deur #3 openen om de geit te onthullen die erachter op de loer ligt.

Als de finalist Deur 1 selecteert en de auto staat achter Deur 2, dan opent Monty Hall Deur 3.

Als de finalist naar Deur 1 wijst en de auto staat achter Deur 3, dan opent Monty Hall Deur 2.

Door van gedachten te veranderen nadat de presentator een van de deuren heeft geopend, krijgt de finalist het voordeel dat hij twee deuren kiest in plaats van één. Ik zal u op drie verschillende manieren proberen te overtuigen van de juistheid van deze analyse.

De eerste is empirisch. In 2008 schreef John Tyerney, columnist van de New York Times, over het Monty Hall-fenomeen. Daarna hebben de medewerkers van de publicatie een interactief programma ontwikkeld waarmee je dit spel kunt spelen en onafhankelijk kunt beslissen of je je oorspronkelijke keuze wilt wijzigen of niet. (Het programma voorziet zelfs in kleine geiten en autootjes die van achter de deuren verschijnen.) Het programma registreert uw winsten in het geval dat u uw aanvankelijke keuze wijzigt, en in het geval dat u niet overtuigd blijft. Ik heb een van mijn dochters betaald om dit spel 100 keer te spelen, waarbij ik haar oorspronkelijke keuze telkens veranderde. Ik heb haar broer ook betaald om het spel ook 100 keer te spelen, waarbij ik elke keer de oorspronkelijke beslissing behield. De dochter won 72 keer; haar broer 33 keer. Elke inspanning werd beloond met twee dollar.

Bewijs uit afleveringen van het spel Let's Make a Deal laat hetzelfde patroon zien. Volgens Leonard Mlodinov, auteur van The Drunkard's Walk, hadden de finalisten die hun oorspronkelijke keuze veranderden ongeveer twee keer zoveel kans om te winnen als degenen die niet overtuigd waren.

Mijn tweede verklaring voor dit fenomeen is gebaseerd op intuïtie. Laten we zeggen dat de spelregels enigszins zijn veranderd. De finalist begint bijvoorbeeld met het kiezen van een van de drie deuren: Deur # 1, Deur # 2 en Deur # 3, zoals oorspronkelijk gepland. Maar voordat hij een van de deuren opent waarachter de geit zich verstopt, vraagt Monty Hall: 'Ben je het ermee eens om je keuze op te geven in ruil voor het openen van de twee overgebleven deuren?' Dus als je Deur # 1 hebt gekozen, kun je van gedachten veranderen in het voordeel van Deur # 2 en Deur # 3. Als je eerst naar Deur # 3 hebt gewezen, kun je Deur # 1 en Deur # 2 selecteren. enzovoort.

Dit zou geen bijzonder moeilijke beslissing voor je zijn: het is vrij duidelijk dat je de eerste keuze moet opgeven ten gunste van de twee overgebleven deuren, omdat dit de winkansen van ⅓ naar ⅔ vergroot. Het meest interessante is dat Monty Hall je dit in wezen aanbiedt in een echt spel, nadat je de deur hebt geopend waarachter de geit zich verstopt. Het fundamentele feit is dat als je de mogelijkheid zou krijgen om twee deuren te kiezen, er sowieso een geit achter een ervan verstopt zou zitten. Wanneer Monty Hall de deur opent waarachter de geit zit, en u dan pas vraagt of u akkoord gaat met het wijzigen van uw oorspronkelijke keuze, vergroot dit uw kansen op het winnen van een waardevolle prijs aanzienlijk! Monty Hall zegt eigenlijk tegen je: "De kans dat een waardevolle prijs verstopt zit achter een van de twee deuren die je de eerste keer niet hebt gekozen, is ⅔, wat nog steeds meer is dan ⅓!"

Je kunt het je zo voorstellen. Stel dat u naar Deur # 1 wees. Daarna geeft Monty Hall u de mogelijkheid om af te zien van de oorspronkelijke beslissing ten gunste van Deur #2 en Deur 3. U stemt ermee in en u heeft twee deuren tot uw beschikking, wat betekent dat u elke reden verwacht een waardevolle prijs te winnen met een kans van ⅔, niet ⅓. Wat zou er gebeurd zijn als Monty Hall op dit moment Deur 3 had geopend - een van "jouw" deuren - en er zat een geit achter? Zou dit feit uw vertrouwen in uw beslissing aan het wankelen brengen? Natuurlijk niet. Als de auto zich achter Deur 3 verstopte, zou Monty Hall Deur 2 openen! Hij zou je niets laten zien.

Wanneer het spel wordt gespeeld volgens een knock-off-scenario, geeft Monty Hall je echt de keuze tussen de deur die je aan het begin hebt opgegeven en de twee resterende deuren, waarvan er één een auto kan zijn. Als Monty Hall de deur opent waarachter de geit verstopt zit, bewijst hij je gewoon een plezier door je te laten zien welke van de andere twee deuren niet de auto is. U heeft dezelfde kansen om te winnen in beide volgende scenario's.

1. Door Deur # 1 te selecteren en vervolgens akkoord te gaan met "overschakelen" naar Deur # 2 en Deur # 3 nog voordat een deur is geopend.
2. Door deur # 1 te selecteren en vervolgens akkoord te gaan met "overschakelen" naar deur # 2 nadat Monty Hall je de geit achter deur # 3 laat zien (of deur # 3 kiest nadat Monty Hall je de geit achter deur # 2 laat zien).

In beide gevallen geeft het opgeven van de oorspronkelijke beslissing je het voordeel van twee deuren boven één, en kun je dus je winkansen verdubbelen van ⅓ naar ⅔.

Mijn derde optie is een radicalere versie van dezelfde basisintuïtie. Stel dat Monty Hall je vraagt om een van de 100 deuren te kiezen (in plaats van een van de drie). Nadat je dit hebt gedaan, bijvoorbeeld door naar Deur 47 te wijzen, opent hij de 98 resterende deuren, die de geiten zullen onthullen. Nu blijven er nog maar twee deuren gesloten: uw deur nr. 47 en een andere, bijvoorbeeld deur nr. 61. Moet u uw oorspronkelijke keuze opgeven?

Natuurlijk! Er is 99 procent kans dat de auto achter een van de deuren staat waar je in eerste instantie niet voor hebt gekozen. Monty Hall deed je hoffelijk door 98 van deze deuren te openen, er stond geen auto achter. Er is dus slechts een kans van 1 op 100 dat uw eerste keuze (Deur # 47) correct is. Tegelijkertijd is er een kans van 99 op 100 dat uw eerste keuze verkeerd was. Als dat zo is, dan bevindt de auto zich achter de resterende deur, namelijk deur nr. 61. Als je wilt spelen met de kans om 99 van de 100 keer te winnen, moet je "overschakelen" naar deur nr. 61.

Kortom, als je ooit Let's Make a Deal moet spelen, moet je zeker terugkomen op je oorspronkelijke beslissing wanneer Monty Hall (of wie hem ook zal vervangen) je een keuze geeft. Een meer universele conclusie uit dit voorbeeld is dat je intuïtieve gissingen over de waarschijnlijkheid van bepaalde gebeurtenissen je soms kunnen misleiden.